Integrales
Área bajo una curva
Construí el área con franjas verticales delgadas. Distinguí área geométrica y acumulación con signo cuando el gráfico cae bajo el eje.
1. Una región que crece
1 / 3A(b)=\int_0^b x^2\,dx=\frac{b^3}{3} Bajo y=x² entre 0 y b≥0, el área es b³/3. Aumentar el extremo agrega franjas positivas. El área depende de todo el intervalo, no solo de la altura final.
- b
- 1
- f(b)
- 1
- A(b)
- 0,333333
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.
2. Sumas de rectángulos
2 / 3R_n=\sum_{k=1}^n\left(\frac{2k}{n}\right)^2\frac2n Aproximá el área bajo x² en [0,2] con n rectángulos de extremo derecho. Como x² crece allí, sobreestiman la integral 8/3.
- n
- 4
- Rₙ
- 3,75
- ∫
- 2,666667
Los rectángulos usan extremos derechos. Su suma con signo aproxima la integral; aumentar la cantidad reduce el error en este ejemplo.
3. Área con signo
3 / 3\int_{-1}^b x\,dx=\frac{b^2-1}{2} Para y=x en [−1,1], los triángulos negativo y positivo se cancelan en la integral. Sus áreas geométricas se suman. Mové el extremo superior para comparar la acumulación con signo.
- ∫
- 0
- b
- 1
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.