Estudio de funciones
Crecimiento, decrecimiento y extremos
Usá el signo de la derivada para ubicar ascensos, descensos y posibles giros. Verificá los candidatos: no toda pendiente cero es un extremo.
1. Leer los signos de la derivada
1 / 4f=x^3-3x,\quad f\prime=3x^2-3 Para x³−3x, f′=3(x²−1). Es positiva fuera de [−1,1] y negativa dentro. Los cambios de signo dan un máximo local en −1 y un mínimo local en 1.
- f(a)
- -2
- f′(a)
- 0
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.
2. Un mínimo en el vértice
2 / 4f=(x-1)^2,\quad f\prime=2(x-1) La función no negativa (x−1)² llega a cero en x=1. Su derivada cambia de negativa a positiva allí, confirmando un mínimo local y global.
- f(a)
- 1
- f′(a)
- -2
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.
3. Pendiente cero no alcanza
3 / 4f=x^3,\quad f\prime=3x^2 Para x³, f′(0)=0 pero la derivada es positiva a ambos lados. El gráfico sigue creciendo al pasar por cero: allí no hay máximo ni mínimo local.
- f(a)
- 1
- f′(a)
- 3
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.
4. Incluir los extremos del intervalo
4 / 4f=x^3-3x,\quad -2\le x\le2 En [−2,2], evaluá x³−3x en −2, −1, 1 y 2. Los valores son −2, 2, −2 y 2. Un extremo absoluto puede estar en un extremo del intervalo y no ser único.
- a
- 1
- f(a)
- -2
Compará las alturas en ambos extremos y en cada punto crítico interior. La mayor altura es el máximo absoluto; puede alcanzarse en más de una entrada.