Integrales
Teorema fundamental del cálculo
Derivación e integración están conectadas: derivar el área acumulada recupera el integrando local, y las primitivas evalúan integrales definidas.
1. Derivar la acumulación
1 / 3A(x)=\int_0^x t^2dt=\frac{x^3}{3},\quad A\prime(x)=x^2 Sea A(x)=∫₀ˣt²dt=x³/3. Un pequeño cambio en x agrega una franja de altura x², por eso A′(x)=x². El área acumulada y su tasa son valores distintos.
- A(b)
- 0,333333
- A′(b)
- 1
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.
2. Evaluar con una primitiva
2 / 3\int_0^b e^t\,dt=e^b-1 Como (eᵗ)′=eᵗ, ∫₀ᵇeᵗdt=eᵇ−1. Esto evalúa exactamente la suma límite sin dibujar infinitos rectángulos.
- eᵇ
- 2,718282
- ∫
- 1,718282
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.
3. Un límite superior compuesto
3 / 3A(x)=\int_0^{x^2}\cos t\,dt,\quad A\prime(x)=2x\cos(x^2) Para A(x)=∫₀^(x²)cos(t)dt=sin(x²), derivá la acumulación en el límite superior y multiplicá por su derivada: A′(x)=cos(x²)·2x.
- límite=x²
- 1
- A(a)
- 0,841471
- A′(a)
- 1,080605
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.