Integrales

Métodos de integración

Buscá una derivada junto a una composición, simplificá algebraicamente o usá una identidad trigonométrica. Verificá cada primitiva derivando.

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1. Deshacer la regla de la cadena

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Gráfica de ejemplo

f(x)=2x\cos(x^2),\quad F(x)=\sin(x^2)

Tomá u=x², de modo que du=2x dx. Entonces ∫2x cos(x²) dx se vuelve ∫cos(u) du=sin(u)+C. El integrando continuo es la derivada de la primitiva punteada.

f(a): 1,080605
F(a): 0,841471

Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.

2. Reconocer u′/u

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Gráfica de ejemplo

f(x)=\frac{2x}{1+x^2},\quad F(x)=\ln(1+x^2)

Con u=1+x², du=2x dx. La primitiva de 2x/(1+x²) es ln(1+x²)+C. Aquí u es positiva siempre, así que no hay ambigüedad de valor absoluto.

f(a): 1
F(a): 0,693147

Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.

3. Fracciones simples

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Gráfica de ejemplo

f=\frac1{x^2-1},\quad F=\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|

Separá 1/(x²−1) en 1/[2(x−1)]−1/[2(x+1)]. Integrar cada término da una diferencia de logaritmos. Trabajá en un intervalo que no cruce ±1.

f(a): -1
F(a): 0

Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.

4. Una identidad trigonométrica

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Gráfica de ejemplo

f=\sin^2x,\quad F=\frac x2-\frac{\sin2x}{4}

Usá sin²x=(1−cos 2x)/2. Su primitiva es x/2−sin(2x)/4+C; el factor 1/4 incluye la derivada interior de 2x.

f(a): 0,708073
F(a): 0,272676

Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.