Derivadas
De la secante a la tangente
Cambiá el intervalo. Observá la pendiente. ¿Qué creés que pasa cuando los dos puntos se acercan?
Una secante une dos puntos de una curva. Acercalos para descubrir cómo su pendiente se aproxima a la de la tangente. Exploraremos f(x) = x², primero en a = 1 y luego en a = −2.
1. Dos puntos, una secante
1 / 4f(x)=x^2 Fijá P en (1, 1) y mové Q sobre la parábola con un incremento h positivo. La pendiente secante es el cambio de altura dividido por el cambio en x. Al reducir h, la pendiente se aproxima a 2.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h,\quad h\ne0 - Punto inicial a
- a = 1
- Pendiente de la secante
- 3
- Pendiente de la tangente
- 2
P está fijo en (a, a²); Q se mueve sobre la parábola. La secante continua une P y Q. La recta punteada es la tangente en P. En h = 0, solo queda la tangente.
2. Desde el otro lado
2 / 4f(x)=x^2 Ahora Q se acerca a P desde la izquierda, por lo que h es negativo. La pendiente secante es 2 + h: se aproxima a 2 desde abajo. Compará con los incrementos positivos de la diapositiva anterior.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h,\quad h\ne0 - Punto inicial a
- a = 1
- Pendiente de la secante
- 1
- Pendiente de la tangente
- 2
P está fijo en (a, a²); Q se mueve sobre la parábola. La secante continua une P y Q. La recta punteada es la tangente en P. En h = 0, solo queda la tangente.
3. El límite tangente
3 / 4f(x)=x^2 Llevá h hasta cero. P y Q coinciden, por lo que el cociente secante queda indefinido. La tangente punteada permanece: su pendiente es el límite de las pendientes secantes, no el valor del cociente en cero.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h,\quad h\ne0 - Punto inicial a
- a = 1
- Pendiente de la secante
- 3
- Pendiente de la tangente
- 2
P está fijo en (a, a²); Q se mueve sobre la parábola. La secante continua une P y Q. La recta punteada es la tangente en P. En h = 0, solo queda la tangente.
4. Otro punto de partida
4 / 4f(x)=x^2 Mové P a (−2, 4). Para cualquier punto de partida a en esta parábola, la pendiente secante es 2a + h y la tangente es 2a. Aquí la tangente es descendente.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h,\quad h\ne0 - Punto inicial a
- a = -2
- Pendiente de la secante
- -3
- Pendiente de la tangente
- -4
P está fijo en (a, a²); Q se mueve sobre la parábola. La secante continua une P y Q. La recta punteada es la tangente en P. En h = 0, solo queda la tangente.