Integrales
La integral definida
Una integral acumula aportes con signo en un intervalo. Usá primitivas exactas para evaluarla e interpretá sus unidades.
1. Evaluar en los extremos
1 / 4\int_0^b x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^b Para x², una primitiva es x³/3. Restá su valor en el extremo inferior al del superior. La constante se cancela.
- F(b)
- 0,333333
- F(0)
- 0
- ∫
- 0,333333
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.
2. Invertir el intervalo
2 / 4\int_1^b x\,dx=\frac{b^2-1}{2} La integral de x entre 1 y b es (b²−1)/2. Si b<1, se invierte la orientación y la integral es negativa aunque x sea positivo en la región sombreada.
- b
- 2
- ∫₁ᵇ x dx
- 1,5
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.
3. Desplazamiento y distancia
3 / 4v(t)=t-1,\quad\Delta s=\int_0^b v(t)\,dt Con velocidad v(t)=t−1 en [0,2], los aportes negativos y positivos se cancelan. El desplazamiento es ∫v; la distancia total es ∫|v| y no se cancela.
- Δs
- -0,5
- distancia
- 0,5
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.
4. Valor medio de una función
4 / 4f_{avg}=\frac1b\int_0^b x^2\,dx=\frac{b^2}{3} La altura media en [0,b], b>0, es (1/b)∫₀ᵇ x² dx=b²/3. Es la altura de un rectángulo con la misma base y área que la región.
- ∫
- 0,333333
- promedio
- 0,333333
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.