Aplicaciones de la integración
Masa, centroides y momentos
Los momentos ponderan la masa por la distancia a un eje. Los de primer orden ubican el equilibrio; los de segundo miden la distribución de distancias al cuadrado.
1. Una varilla uniforme
1 / 4m=L,\quad M=\frac{L^2}{2},\quad\bar x=\frac L2 Una varilla en [0,L] con densidad 1 tiene masa L. Su primer momento respecto de cero es ∫₀ᴸx dx=L²/2, así que su centro de masa es L/2.
- m
- 2
- M
- 2
- x̄
- 1
El sombreado representa la densidad de la varilla o la lámina indicada. Las fórmulas especifican el eje; masa, centroide y segundos momentos son cantidades diferentes.
2. Una lámina triangular
2 / 4m=\frac{b^2}{2},\quad(\bar x,\bar y)=\left(\frac{2b}{3},\frac b3\right) Para densidad uniforme 1 bajo y=x en [0,b], la masa es b²/2. My=∫x·x dx=b³/3 y Mx=∫x²/2 dx=b³/6. El centroide es (2b/3,b/3).
- m
- 0,5
- x̄
- 0,666667
- ȳ
- 0,333333
El sombreado representa la densidad de la varilla o la lámina indicada. Las fórmulas especifican el eje; masa, centroide y segundos momentos son cantidades diferentes.
3. Segundos momentos respecto de ejes
3 / 4I_x=\frac{b^4}{12},\quad I_y=\frac{b^4}{4} Para la misma lámina triangular, Ix=∫₀ᵇx³/3 dx=b⁴/12 e Iy=∫₀ᵇx²·x dx=b⁴/4. Son respecto de los ejes coordenados, no de ejes por el centroide.
- Iₓ
- 0,083333
- Iᵧ
- 0,25
- Iᵧ/Iₓ
- 3
El sombreado representa la densidad de la varilla o la lámina indicada. Las fórmulas especifican el eje; masa, centroide y segundos momentos son cantidades diferentes.
4. Densidad no uniforme
4 / 4\rho(x)=x,\quad m=\frac{b^2}{2},\quad\bar x=\frac{2b}{3} Para una varilla con densidad ρ(x)=x en [0,b], la masa es b²/2 y el primer momento b³/3. El centro de masa 2b/3 queda hacia el extremo derecho más denso, más allá del punto medio.
- m
- 0,5
- M
- 0,333333
- x̄
- 0,666667
El sombreado representa la densidad de la varilla o la lámina indicada. Las fórmulas especifican el eje; masa, centroide y segundos momentos son cantidades diferentes.