Aplicaciones de la integración
Volúmenes de revolución
Girá una región alrededor de un eje indicado. Elegí discos, arandelas o capas cilíndricas e integrá sus aportes de volumen.
1. Discos alrededor del eje x
1 / 3V=\pi\int_0^b x^2dx=\frac{\pi b^3}{3} Un cono formado al girar y=x alrededor del eje x.
Girá la región bajo y=x entre 0 y b alrededor del eje x. Un disco en x tiene radio x y área πx². Integrar da el volumen del cono πb³/3.
- radio en b
- 1
- V/π
- 0,333333
- V
- 1,047198
Alterná entre la región generadora y el sólido de revolución. Girá la vista para inspeccionar la forma; la línea punteada es el eje de giro. Cambiar la vista no cambia el volumen.
2. Las arandelas dejan un hueco
2 / 3V=\pi\int_0^b(2^2-1^2)dx=3\pi b Un cilindro hueco de radio exterior 2 e interior 1, alrededor del eje x.
Girá 1≤y≤2, 0≤x≤b alrededor del eje x. Cada arandela tiene radio exterior 2 e interior 1. Restá los cuadrados de los radios antes de integrar.
- R
- 2
- r
- 1
- V/π
- 3
Alterná entre la región generadora y el sólido de revolución. Girá la vista para inspeccionar la forma; la línea punteada es el eje de giro. Cambiar la vista no cambia el volumen.
3. Capas alrededor del eje y
3 / 3V=2\pi\int_0^b x\,dx=\pi b^2 Un cilindro de altura 1 y radio b, alrededor del eje y.
Girá 0≤y≤1, 0≤x≤b alrededor del eje y. Una capa en x tiene circunferencia 2πx y altura 1. La integral da πb², el volumen de un cilindro de altura 1.
- radio
- 1
- altura
- 1
- V/π
- 1
Alterná entre la región generadora y el sólido de revolución. Girá la vista para inspeccionar la forma; la línea punteada es el eje de giro. Cambiar la vista no cambia el volumen.