Límites y continuidad
Límites
Un límite describe hacia dónde van las salidas al acercarse las entradas a un punto. Compará ambos lados antes de decidir si hay un límite único.
1. Acercarse por ambos lados
1 / 4f(x)=x+1,\quad \lim_{x\to1}f(x)=2 Para f(x)=x+1, tomá x=1−h y x=1+h. Al reducir la distancia positiva h, ambas alturas se acercan a 2. El límite bilateral es 2.
- f(1−h)
- 1
- f(1+h)
- 3
Los puntos marcan entradas de muestra. Los círculos abiertos excluyen un punto. El gráfico tiene una ventana finita; un límite describe un acercamiento, no una sola muestra.
2. Un límite con un hueco
2 / 4f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\quad x\ne1 Cancelá x−1 solo para x≠1. La expresión original no tiene valor en 1, pero los valores cercanos siguen x+1 y se acercan a 2.
- f(1−h)
- 1
- f(1+h)
- 3
Los puntos marcan entradas de muestra. Los círculos abiertos excluyen un punto. El gráfico tiene una ventana finita; un límite describe un acercamiento, no una sola muestra.
3. Cuando los lados difieren
3 / 4f(x)=\begin{cases}1&x<0\\2&x\ge0\end{cases} Aquí f(x)=1 para x<0 y f(x)=2 para x≥0. Reducir la distancia no hace coincidir las alturas. No existe límite bilateral en cero.
- f(−h)
- 1
- f(h)
- 2
Los puntos marcan entradas de muestra. Los círculos abiertos excluyen un punto. El gráfico tiene una ventana finita; un límite describe un acercamiento, no una sola muestra.
4. Cuando la entrada crece
4 / 4f(x)=\frac{x}{x+1},\quad\lim_{x\to\infty}f(x)=1 Para x positivo, x/(x+1)=1−1/(x+1). La diferencia respecto de 1 disminuye al crecer x sin cota. El gráfico se acerca a 1 sin tener que alcanzarlo.
- f(a)
- 0,5
- 1−f(a)
- 0,5
Los puntos marcan entradas de muestra. Los círculos abiertos excluyen un punto. El gráfico tiene una ventana finita; un límite describe un acercamiento, no una sola muestra.