Estudio de funciones
Concavidad e inflexión
La segunda derivada describe cómo cambia la primera. Usá su signo para distinguir la curvatura hacia arriba y hacia abajo.
1. La concavidad cambia de signo
1 / 3f=x^3,\quad f\prime=3x^2,\quad f\prime\prime=6x Para x³, f″=6x es negativa a la izquierda de cero y positiva a la derecha. El origen es un punto de inflexión porque cambia la concavidad.
- f′(a)
- 3
- f″(a)
- 6
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.
2. Cero sin inflexión
2 / 3f=x^4,\quad f\prime\prime=12x^2 Para x⁴, f″=12x² es no negativa y positiva fuera de cero. No cambia de signo en cero, así que la curva sigue cóncava hacia arriba y no tiene inflexión allí.
- f′(a)
- 4
- f″(a)
- 12
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.
3. Creciente pero cóncava hacia abajo
3 / 3f=\ln x,\quad f\prime=\frac1x,\quad f\prime\prime=-\frac1{x^2} Para ln(x), f′=1/x>0 y f″=−1/x²<0 en x>0. El gráfico sube mientras disminuye su pendiente. Crecer y ser cóncava hacia arriba son propiedades distintas.
- f′(a)
- 1
- f″(a)
- -1
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.