Integrales
Integración por partes
Invertí la regla del producto: ∫u dv=uv−∫v du. Elegí u para que derivarlo simplifique la integral restante.
1. Un polinomio por una exponencial
1 / 3f=xe^x,\quad F=(x-1)e^x Para ∫xeˣ dx, elegí u=x y dv=eˣdx. Entonces du=dx y v=eˣ. Resulta xeˣ−eˣ+C=(x−1)eˣ+C.
- f(a)
- 2,718282
- F(a)
- 0
Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.
2. Integrar el logaritmo
2 / 3f=\ln x,\quad F=x\ln x-x Pensá ln(x) como ln(x)×1. Elegí u=ln(x), dv=dx, así du=dx/x y v=x. La primitiva es xln(x)−x+C en x>0.
- f(a)
- 0
- F(a)
- -1
Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.
3. Conservar el término de borde
3 / 3\int_0^b x\cos x\,dx=b\sin b+\cos b-1 Para ∫₀ᵇ x cos(x) dx, tomá u=x y dv=cos(x)dx. Resulta b sin(b)+cos(b)−1. El extremo inferior aporta el −1.
- b sin(b)
- 0,841471
- ∫
- 0,381773
El sombreado muestra la región entre los límites. Con límites en orden creciente, las regiones bajo el eje aportan negativamente; invertir los límites cambia el signo de la integral. El área geométrica sigue siendo no negativa.