Derivadas
Derivadas de funciones inversas
Una inversa intercambia entradas y salidas en una rama inyectiva. Su pendiente es recíproca cuando la derivada original no es cero.
1. Cubo y raíz cúbica
1 / 3f(x)=x^3,\quad g(x)=\sqrt[3]{x},\quad g\prime(a^3)=\frac1{3a^2} La inversa de x³ es la raíz cúbica. En a=1, la pendiente cúbica es 3 y la inversa en y=1 es 1/3. En cero la derivada cúbica se anula, y la regla recíproca no da pendiente inversa finita.
- f′(a)
- 3
- g′(a³)
- 0,333333
Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.
2. Exponencial y logaritmo
2 / 3f(x)=e^x,\quad g(x)=\ln x,\quad g\prime(y)=\frac1y Como ln es la inversa de exp, su derivada en y=e^a es 1/e^a=1/y. La inversa solo está definida para y positivo.
- y=eᵃ
- 1
- f′(a)
- 1
- g′(y)
- 1
Las fórmulas identifican las curvas continua y punteada. Compará sus valores con el control; la explicación indica su relación matemática.
3. Elegir una rama inversa
3 / 3f(x)=\arcsin x,\quad f\prime(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}} El seno es inyectivo en [−π/2,π/2]. Su inversa arcsin tiene derivada 1/√(1−x²) para −1<x<1. La pendiente crece cerca de los extremos; allí la fórmula no es finita.
- arcsin(a)
- 0
- f′(a)
- 1
La curva continua es f; la recta punteada es su tangente en a. f(a) es altura y f′(a) es pendiente. Las preguntas usan la entrada indicada en su texto.