Práctica y repaso
Práctica integradora
Elegí la idea matemática antes de calcular. Estos nueve problemas combinan los temas del curso. Intentá resolverlos sin ayuda o revelá dos pistas cada vez más específicas. La revisión final distingue las soluciones independientes del trabajo a repasar. El progreso se guarda en este navegador.
1. Un punto ausente
1 / 9f(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\quad x\ne2 La expresión está definida para todo número real excepto 2. Queremos extender la gráfica por esa entrada sin una interrupción.
- Compará los valores que se acercan a la entrada ausente desde ambos lados.
- Factorizá x²−4 como (x−2)(x+2). Cancelá solo cuando x≠2.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
2. Una señal que cambia
2 / 9S(t)=(3t+1)^2 Un sensor informa S(t)=(3t+1)². Buscá su tasa instantánea, no el valor que informa.
- Hay una función dentro de otra.
- Sea u=3t+1. La derivada exterior es 2u y du/dt=3.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
3. Una razón que cambia
3 / 9q(x)=\frac{x^2}{x+1} La salida es un cociente. Tanto el numerador como el denominador cambian con x.
- Dividir las dos derivadas no da la derivada del cociente.
- Usá (u′v−uv′)/v² con u=x² y v=x+1.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
4. El mejor valor
4 / 9C(x)=x^2-4x+7,\quad 0\le x\le3 Un modelo de costo es C(x)=x²−4x+7 en el intervalo cerrado [0,3]. Buscá el costo más bajo en todo el intervalo.
- Revisá los puntos críticos interiores y ambos extremos.
- Resolvé 2x−4=0; luego evaluá C allí y en 0 y 3.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
5. Un viaje corto
5 / 9v(t)=t-2,\quad 0\le t\le4 Un objeto tiene velocidad v(t)=t−2 metros por segundo desde t=0 hasta t=4 segundos. Cambia de dirección durante el viaje.
- La distancia total no se cancela al cambiar de dirección.
- Separá en t=2 y sumá las magnitudes de las dos áreas triangulares.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
6. Un total ponderado
6 / 9I=\int_0^1 xe^x\,dx Acumulá el producto de x y eˣ en [0,1]. La regla directa de potencias no se aplica a este producto.
- Elegí un factor para derivar y otro para integrar.
- Tomá u=x y dv=eˣ dx. Luego evaluá xeˣ−eˣ en ambos extremos.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
7. Un extremo móvil
7 / 9A(x)=\int_0^{x^2}(t+1)\,dt El límite superior de esta cantidad acumulada cambia con x. La gráfica muestra el integrando, no A.
- Derivar el área acumulada recupera el integrando en el extremo.
- El extremo es x², así que también debe aparecer su derivada 2x.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
8. Un objeto hueco
8 / 91\le y\le3,\quad 0\le x\le2 Girá la región 1≤y≤3 y 0≤x≤2 alrededor del eje x. La imagen muestra la región generadora.
- El hueco central resta volumen.
- Restá los cuadrados de los radios y multiplicá el área de la sección por la longitud.
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.
9. Un punto de equilibrio
9 / 9\rho(x)=x,\quad 0\le x\le6 Una varilla ocupa [0,6] con densidad lineal ρ(x)=x. El extremo derecho es más denso que el izquierdo. La gráfica muestra la densidad.
- Usá un promedio ponderado por densidad, no el punto medio geométrico.
- Dividí ∫xρ(x) dx por ∫ρ(x) dx en [0,6].
Explorá la gráfica y respondé con los valores de la pregunta. Revelá una pista si necesitás un punto de partida.